مدل بلک شولز چیست؟
مدل بلک-شولز، که گاهی اوقات مدل بلک-شولز-مرتون (BSM) نامیده می‌شود، یکی از سنگ بناهای نظریه مالی مدرن محسوب می‌شود. این مدل قیمت‌گذاری اختیار معامله، ارزش نظری یک قرارداد اختیار معامله را با تجزیه و تحلیل رابطه بین قیمت فعلی سهام، قیمت اعمال، زمان تا انقضا، نرخ بهره بدون ریسک و نوسانات تعیین می‌کند.
این مدل که در ابتدا در سال ۱۹۷۳ توسط اقتصاددانانی چون فیشر بلک و مایرون شولز معرفی شد و بعدها توسط رابرت مرتون گسترش یافت، اولین مدل ارزیابی گسترده برای اختیار معامله سهام بود. این مدل همچنان مدل استاندارد قیمت‌گذاری اختیار معامله برای ارزش‌گذاری اختیار معامله سهام، ارز و حتی کالاها است.
این مدل برای اختیار معامله‌های سبک اروپایی که فقط در تاریخ انقضا قابل اعمال هستند و برای دارایی‌های پایه که سود سهام پرداخت نمی‌کنند، دقیق‌ترین است. با این حال، مدل قیمت‌گذاری اختیار معامله بلک-شولز در عمل برای مدیریت سود سهام تطبیق داده شده و در ارزش‌گذاری اختیار معامله‌ها در بسیاری از بازارها به کار گرفته شده است.
تاریخچه مدل بلک شولز
مدل بلک-شولز اولین مدل قیمت‌گذاری آپشن بود که به طور گسترده شناخته شد. اقتصاددانان فیشر بلک و مایرون شولز فرمول ریاضی خود را در سال ۱۹۷۳ در کتاب «قیمت‌گذاری آپشن‌ها و بدهی‌های شرکتی» منتشر کردند. رابرت سی. مرتون بعداً آن را اصلاح کرد و اصطلاح «مدل قیمت‌گذاری آپشن بلک-شولز» را ابداع کرد.
فرمول اصلی از قیمت بازار سهام پایه، سود سهام مورد انتظار، قیمت اعمال (قیمت اعمال)، نرخ بهره بدون ریسک، زمان تا انقضا و نوسانات دارایی پایه استفاده می‌کرد. شولز و مرتون در سال ۱۹۹۷ به خاطر کارشان جایزه نوبل دریافت کردند. فیشر بلک درگذشته بود و پس از مرگ از او قدردانی شد.
کارشناسان تأکید می‌کنند که ورود این مدل «انقلابی در ارزش‌گذاری آپشن‌ها» (همانطور که رابرت مرتون، برنده جایزه نوبل، اشاره کرد) را رقم زد و به بازارهای مالی ابزاری دقیق و جهانی برای قیمت‌گذاری مشتقات داد. به گفته آسوات داموداران، استاد امور مالی، مدل بلک-شولز نه تنها به دلیل دقت آن، بلکه به دلیل ارائه یک چارچوب ساده و سازگار که به راحتی در بازارها قابل تکرار است، همچنان محبوب است.
درک ارزش یک اختیار معامله سهام
در گذشته، ارزش یک اختیار معامله سهام فقط با ارزش ذاتی - تفاوت بین قیمت سهام و قیمت اعمال - سنجیده می‌شد. اگر قیمت فعلی سهام برابر با قیمت اعمال بود، ارزش آن صفر فرض می‌شد.
مدل بلک-شولز پیشگامانه بود زیرا نشان داد که حتی زمانی که ارزش ذاتی صفر است، اختیار معامله به دلیل گذشت زمان و نوسانات همچنان ارزش دارد. احتمال افزایش قیمت دارایی پایه در آینده، به اختیار معامله سهام ارزش بیشتری می‌دهد.
تحلیلگران مالی اغلب خاطرنشان می‌کنند که این بینش، معاملات آپشن را تغییر شکل داد. همانطور که امانوئل درمن، استراتژیست مشتقات، زمانی توضیح داد، «نبوغ بلک-شولز این بود که خودِ زمان را به یک مؤلفه قابل اندازه‌گیری از ارزش تبدیل می‌کرد.»
ارزش زمانی در مقابل ارزش ذاتی
ارزش ذاتی نشان دهنده ارزش یک اختیار معامله در صورت اعمال فوری آن است. در مقابل، ارزش زمانی، پتانسیل سود در طول عمر اختیار معامله را نشان می‌دهد. به عنوان مثال، یک اختیار معامله سهام با تاریخ انقضای طولانی، ممکن است امروز هیچ ارزش ذاتی نداشته باشد، اما به دلیل رشد بالقوه قیمت سهام پایه قبل از تاریخ انقضا، ارزش زمانی قابل توجهی داشته باشد.
نحوه عملکرد مدل بلک-شولز
مدل قیمت‌گذاری اختیار معامله بلک-شولز بر این فرض استوار است که قیمت‌ها از توزیع لگاریتمی نرمال پیروی می‌کنند و با رانش و نوسان ثابت حرکت می‌کنند. این مدل یک فرمول ریاضی است که به معامله‌گران اختیار معامله اجازه می‌دهد تا با وارد کردن چند ورودی ضروری، قیمت منصفانه اختیار معامله را تخمین بزنند:
- قیمت فعلی سهام (S): قیمت بازار دارایی پایه.
- قیمت اعمال (K): قیمت اعمال اختیار معامله.
- زمان تا انقضا (T): عمر باقی‌مانده از آپشن، که بر حسب سال بیان می‌شود.
- نوسان (σ): نوسان دارایی پایه، که میزان نوسان قیمت سهام را اندازه‌گیری می‌کند.
- نرخ بدون ریسک (r): بازده نظری یک اوراق قرضه بدون ریسک.
- نوع اختیار معامله: اختیار خرید (Call) یا اختیار فروش (Put)
نسیم نیکلاس طالب، که مطالب زیادی در مورد آپشن‌ها نوشته است، می‌گوید: «کارشناسان بازار تأکید می‌کنند که اگرچه ورودی‌ها ساده به نظر می‌رسند، اما چالش در تخمین نوسانات نهفته است.» قضاوت نادرست در مورد نوسانات می‌تواند قیمت یک آپشن را به طرز چشمگیری تحریف کند.
فرمول مدل بلک-شولز
این مدل یک معادله ریاضی برای هر دو اختیار خرید و فروش ارائه می‌دهد:
قیمت اختیار خرید (C):
C = S·N(d1) − K·e^(−rt)·N(d2)
قیمت اختیار فروش (P):
P = K·e^(−rt)·N(−d2) − S·N(−d1)
کجا:
- C = ارزش اختیار خرید بلک-شولز
- P = مقدار اختیار فروش
- S = قیمت فعلی سهام
- K = قیمت توافقی
- r = نرخ بهره بدون ریسک
- t = زمان تا انقضا
- N = توزیع نرمال استاندارد
d1 = [ln(S/K) + (r + σ²/2)·t] / (σ√t)
d2 = d1 − σ√t
این فرمول برای قیمت یک اختیار معامله، همچنان معیار ارزش‌گذاری اختیار معامله در بازارهای مالی است.
مثال: ارزش‌گذاری آپشن‌ها با بلک-شولز
یک آپشن اروپایی روی شرکت XYZ انتخاب کنید:
- قیمت فعلی سهام = ۱۰۰ دلار
- قیمت توافقی = ۱۱۰ دلار
- زمان تا انقضا = ۰.۲۵ سال (۹۰ روز)
- مقدار نوسان = 20٪
- نرخ بدون ریسک = ۵٪
وقتی از فرمول مدل بلک-شولز با این ورودی‌ها استفاده می‌کنید، قیمت اختیار خرید حدود ۶.۶۴ دلار محاسبه می‌شود. این مقدار اختیار، ارزش فعلی دارایی پایه و احتمال انقضای اختیار را به سود نشان می‌دهد.
فرضیات بلک-شولز
این مدل فرض می‌کند:
- بازارها کارآمد هستند و تمام اطلاعات موجود را منعکس می‌کنند.
- نرخ بهره بدون ریسک در طول زمان ثابت است.
- قیمت‌ها از توزیع لگاریتمی نرمال پیروی می‌کنند.
- در طول عمر اختیار معامله هیچ سود سهامی پرداخت نمی‌شود (اگرچه تنظیمات بعدی می‌تواند شامل سود سهام نیز باشد).
- بدون مالیات، هزینه یا مانعی برای خرید و فروش.
- فقط آپشن‌های اروپایی در نظر گرفته می‌شوند، نه آپشن‌های به سبک آمریکایی.
کارشناسان تأکید می‌کنند که این فرضیات، اگرچه برای ساده‌سازی ریاضیات مفید هستند، اما دقت مدل در دنیای واقعی را محدود می‌کنند. جان هال، یکی از متخصصان برجسته در زمینه مشتقات، خاطرنشان می‌کند: «هر فرضی یک منبع بالقوه خطا است.»
انحراف نوسان
در حالی که این مدل نوسانات ثابت را فرض می‌کند، بازارهای دنیای واقعی اغلب انحراف نوسانات را نشان می‌دهند. پس از رویدادهایی مانند سقوط بازار در سال ۱۹۸۷، نوسانات ضمنی در قیمت‌های اعمال متفاوت شده است و یکی از محدودیت‌های اصلی مدل بلک-شولز را آشکار می‌کند. این عدم تطابق نشان می‌دهد که چرا ارزش‌گذاری آپشن‌ها گاهی اوقات نیاز به روش‌های جایگزین دارد.
مزایای مدل قیمت‌گذاری اختیار معامله بلک-شولز
- یک چارچوب شفاف و استاندارد برای گزینه‌های قیمت‌گذاری ارائه می‌دهد.
- از ارزیابی سریع با یک فرمول ریاضی واضح پشتیبانی می‌کند.
- به سرمایه‌گذاران کمک می‌کند تا ریسک را مدیریت کنند و استراتژی‌های پیچیده آپشن بسازند.
- قیمت‌گذاری ثابت اختیار معامله سهام را در بازارهای جهانی تشویق می‌کند.
متخصصانی مانند امانوئل درمن، معامله‌گر سابق آپشن، استدلال می‌کنند که «بدون بلک-شولز، بازارهای آپشن مدرن به شکلی که ما می‌شناسیم وجود نداشتند.» این فرمول به معامله‌گران یک زبان مشترک و یک نقطه مرجع قابل اعتماد ارائه داد.
محدودیت‌های مدل بلک-شولز
محدودیت‌های مدل بلک-شولز عبارتند از:
- فقط برای آپشن‌های اروپایی به درستی کار می‌کند.
- نوسانات ثابت و نرخ بدون ریسک ثابت را در نظر می‌گیرد که ممکن است منعکس کننده واقعیت نباشد.
- سود سهام را در شکل پایه خود نادیده می‌گیرد.
- حساس به خطاهای کوچک در تخمین نوسانات.
- نمی‌توان به درستی گزینه‌های سهام کارکنان را با شرایط عملکرد یا پرداخت‌های محدود مدل‌سازی کرد.
شرایط عملکرد: آپشن‌هایی که به رسیدن به نقاط عطف خاصی وابسته هستند، نمی‌توانند با این مدل ارزش‌گذاری به طور دقیق قیمت‌گذاری شوند.
محدودیت‌های محدود: اختیار معامله‌هایی که حداکثر سود را محدود می‌کنند نیز خارج از فرضیات مدل بلک-شولز قرار می‌گیرند.
تحلیلگران مالی اغلب هشدار می‌دهند که محدودیت‌های مدل قیمت‌گذاری اختیار معامله بلک-شولز، آن را به یک نقطه شروع تبدیل می‌کند، نه حرف آخر. همانطور که برتون مالکیل، متخصص امور مالی، اشاره می‌کند، «مدل‌ها راهنما هستند، نه پیشگو. بلک-شولز بسیار ارزشمند است، اما مصون از خطا نیست.»
نکته‌ی آخر
مدل بلک-شولز یک مدل ریاضی است که نظریه مالی مدرن را تغییر داد. این مدل اولین چارچوب پذیرفته‌شده برای قیمت‌گذاری اختیار معامله را ارائه داد و همچنان تأثیرگذارترین مدل قیمت‌گذاری اختیار معامله مورد استفاده امروز است. اگرچه فرضیات ساده‌کننده آن به این معنی است که همیشه با حرکات قیمت بازار مطابقت ندارد، معامله‌گران و تحلیلگران اختیار معامله هنوز از مدل بلک-شولز به عنوان پایه‌ای برای ارزش‌گذاری اختیار معامله و درک پویایی نوسانات، قیمت توافقی و قیمت دارایی پایه استفاده می‌کنند.
اجماع کارشناسان این است که مدل بلک-شولز هم انقلابی و هم ناقص است. این مدل همچنان در معاملات آپشن و ارزش‌گذاری نقش محوری دارد، اما متخصصان از محدودیت‌های آن آگاه هستند و اغلب آن را با سایر مدل‌های ارزش‌گذاری ترکیب می‌کنند تا پیچیدگی‌های بازارهای مدرن را به تصویر بکشند.
