ما هو نموذج بلاك سكولز؟
يُعد نموذج بلاك-سكولز، المعروف أحيانًا باسم نموذج بلاك-سكولز-ميرتون (BSM)، أحد ركائز النظرية المالية الحديثة. يُحدد هذا النموذج القيمة النظرية لعقد الخيار من خلال تحليل العلاقة بين سعر السهم الحالي، وسعر التنفيذ، ومدة انتهاء الصلاحية، وسعر الفائدة الخالي من المخاطر، والتقلب.
طُرح هذا النموذج لأول مرة عام ١٩٧٣ من قِبل الاقتصاديين فيشر بلاك ومايرون سكولز، ثم وسّعه روبرت ميرتون لاحقًا، وكان أول نموذج تقييم مُعتمد على نطاق واسع لخيارات الأسهم. ولا يزال نموذج تسعير الخيارات القياسي لتقييم خيارات الأسهم والعملات وحتى السلع.
يُعدّ هذا النموذج الأكثر دقةً في حالة الخيارات الأوروبية، التي لا يُمكن ممارستها إلا عند تاريخ انتهاء صلاحيتها، وكذلك في حالة الأصول الأساسية التي لا تُوزّع أرباحًا. مع ذلك، فقد عُدِّل نموذج بلاك-سكولز لتسعير الخيارات عمليًا للتعامل مع توزيعات الأرباح، وطُبِّق في تقييم الخيارات في العديد من الأسواق.
تاريخ نموذج بلاك سكولز
كان نموذج بلاك-سكولز أول نموذج لتسعير الخيارات معترف به على نطاق واسع. نشر الاقتصاديان فيشر بلاك ومايرون سكولز صيغتهما الرياضية عام ١٩٧٣ في كتاب "تسعير الخيارات والتزامات الشركات" . قام روبرت سي. ميرتون لاحقًا بتحسينه وصاغ مصطلح "نموذج بلاك-سكولز لتسعير الخيارات".
استخدمت الصيغة الأصلية سعر السوق للسهم الأساسي، والأرباح المتوقعة، وسعر التنفيذ (سعر التنفيذ)، ومعدل الفائدة الخالي من المخاطر، ومدة الصلاحية، وتقلب الأصل الأساسي. حاز سكولز وميرتون على جائزة نوبل عام ١٩٩٧ تقديرًا لعملهما. توفي فيشر بلاك، ونُعي بذكراه بعد وفاته.
يُشير الخبراء إلى أن ظهور هذا النموذج يُمثل "ثورة في تقييم الخيارات" (كما أشار روبرت ميرتون، الحائز على جائزة نوبل)، مما أتاح للأسواق المالية أداةً دقيقةً وشاملةً لتسعير المشتقات. ووفقًا لأستاذ المالية أسواث داموداران، لا يزال نموذج بلاك-سكولز شائعًا، ليس فقط لدقته، بل لأنه يُقدم إطارًا بسيطًا ومتسقًا يسهل تطبيقه في مختلف الأسواق.
فهم قيمة خيار الأسهم
في الماضي، كانت قيمة خيار الأسهم تُقاس فقط بالقيمة الجوهرية، أي الفرق بين سعر السهم وسعر التنفيذ. إذا كان سعر السهم الحالي مساويًا لسعر التنفيذ، يُفترض أن القيمة صفر.
كان نموذج بلاك-سكولز رائدًا لأنه أظهر أنه حتى عندما تكون القيمة الجوهرية صفرًا، يظل الخيار ذا قيمة نظرًا للوقت والتقلب. إن إمكانية حدوث زيادات مستقبلية في سعر الأصل الأساسي تمنح خيارات الأسهم قيمة إضافية.
كثيرًا ما يُشير المحللون الماليون إلى أن هذه الرؤية أعادت صياغة تداول الخيارات. وكما أوضح إيمانويل ديرمان، خبير استراتيجيات المشتقات المالية، فإن "عبقرية بلاك-سكولز تكمن في جعل الوقت نفسه عنصرًا قابلًا للقياس من القيمة".
القيمة الزمنية مقابل القيمة الجوهرية
تعكس القيمة الجوهرية قيمة الخيار عند تنفيذه فورًا. أما القيمة الزمنية، فتمثل إمكانية تحقيق مكاسب خلال مدة الخيار. على سبيل المثال، قد لا يكون لخيار الأسهم طويل الأجل قيمة جوهرية حاليًا، ولكن له قيمة زمنية كبيرة نظرًا للنمو المحتمل في سعر السهم الأساسي قبل تاريخ انتهاء الصلاحية.
كيف يعمل نموذج بلاك-سكولز
يعتمد نموذج بلاك-سكولز لتسعير الخيارات على افتراض أن الأسعار تتبع توزيعًا لوغاريتميًا طبيعيًا، وتتحرك بانجراف وتقلب مستمرين. النموذج عبارة عن صيغة رياضية تُمكّن متداولي الخيارات من تقدير السعر العادل للخيار بإدخال بعض المدخلات الأساسية:
- سعر السهم الحالي (S): سعر السوق للأصل الأساسي.
- سعر التنفيذ (K): سعر تنفيذ الخيار.
- وقت انتهاء الصلاحية (T): هو العمر المتبقي للخيار، معبرًا عنه بالسنوات.
- التقلب (σ): تقلب الأصول الأساسية، والذي يقيس مدى تقلب سعر السهم.
- معدل الخالي من المخاطر (r): العائد النظري للسند الخالي من المخاطر.
- نوع الخيار: خيار شراء أو خيار بيع.
يؤكد خبراء السوق أنه رغم بساطة المدخلات، إلا أن "التحدي يكمن في تقدير التقلبات"، كما يقول نسيم نيكولاس طالب، صاحب الدراسات المُعمّقة في مجال الخيارات. إن سوء تقدير التقلبات قد يُشوّه سعر الخيار بشكل كبير.
صيغة نموذج بلاك-سكولز
يوفر النموذج معادلة رياضية لكل من خيار الشراء وخيار البيع:
سعر خيار الشراء (ج):
C = S·N(d1) − K·e^(−rt)·N(d2)
سعر خيار البيع (P):
P = K·e^(−rt)·N(−d2) − S·N(−d1)
أين:
- ج = قيمة خيار شراء بلاك-سكولز
- P = قيمة خيار البيع
- س = سعر السهم الحالي
- K = سعر الإضراب
- r = معدل الفائدة الخالي من المخاطر
- t = وقت انتهاء الصلاحية
- ن = التوزيع الطبيعي القياسي
d1 = [ln(S/K) + (r + σ²/2)·t] / (σ√t)
d2 = d1 − σ√t
وتظل هذه الصيغة لسعر الخيار هي المعيار لتقييم الخيارات في الأسواق المالية.
مثال: تقييم الخيارات باستخدام نموذج بلاك-سكولز
اتخاذ خيار أوروبي على XYZ Corp:
- سعر السهم الحالي = 100 دولار
- سعر الإضراب = 110 دولارًا
- الوقت حتى انتهاء الصلاحية = 0.25 سنة (90 يومًا)
- قيمة التقلب = 20%
- معدل خالٍ من المخاطر = 5%
عند استخدام صيغة نموذج بلاك-سكولز مع هذه المدخلات، يُحسب سعر خيار الشراء بحوالي 6.64 دولار أمريكي. تعكس قيمة الخيار هذه القيمة الحالية للأصل الأساسي واحتمالية انتهاء صلاحيته.
افتراضات بلاك-سكولز
يفترض النموذج:
- الأسواق فعالة وتعكس كافة المعلومات المتاحة.
- معدل الفائدة الخالي من المخاطر ثابت على مر الزمن.
- تتبع الأسعار توزيعًا لوغاريتميًا طبيعيًا.
- لا يتم دفع أي أرباح طوال عمر الخيار (على الرغم من أن التعديلات اللاحقة يمكن أن تتضمن أرباحًا).
- لا توجد ضرائب أو تكاليف أو حواجز أمام الشراء والبيع.
- يتم النظر فقط في الخيارات الأوروبية، وليس الخيارات ذات الطراز الأمريكي.
يؤكد الخبراء أن هذه الافتراضات، وإن كانت مفيدة لتبسيط الرياضيات، إلا أنها تحد من دقة النموذج في الواقع العملي. ويشير جون هول، الخبير الرائد في مجال المشتقات المالية، إلى أن "كل افتراض يُحتمل أن يكون مصدرًا للخطأ".
انحراف التقلب
بينما يفترض النموذج تقلبًا ثابتًا، غالبًا ما تُظهر أسواق العالم الحقيقي تفاوتًا في التقلب. بعد أحداث مثل انهيار سوق عام ١٩٨٧، تباعدت التقلبات الضمنية عبر أسعار التنفيذ، كاشفةً عن أحد أهم عيوب نموذج بلاك-سكولز. يُظهر هذا التباين سبب استحالة تقييم الخيارات أحيانًا باستخدام أساليب بديلة.
مزايا نموذج تسعير الخيارات بلاك-سكولز
- يوفر إطارًا شفافًا وموحدًا لخيارات التسعير.
- يدعم التقييم السريع باستخدام صيغة رياضية واضحة.
- يساعد المستثمرين على إدارة المخاطر وبناء استراتيجيات الخيارات المعقدة.
- يشجع التسعير المتسق لخيارات الأسهم عبر الأسواق العالمية.
يزعم ممارسون، مثل إيمانويل ديرمان، المتداول السابق في سوق الخيارات، أنه "لولا نموذج بلاك-سكولز، لما وُجدت أسواق الخيارات الحديثة كما نعرفها". وقد منحت هذه الصيغة المتداولين لغة مشتركة ونقطة مرجعية موثوقة.
حدود نموذج بلاك-سكولز
تشمل قيود نموذج بلاك-سكولز ما يلي:
- يعمل بشكل صحيح فقط للخيارات الأوروبية.
- يفترض تقلبًا ثابتًا ومعدلًا ثابتًا خاليًا من المخاطر، وهو ما قد لا يعكس الواقع.
- يتجاهل الأرباح في شكلها الأساسي.
- حساسة للأخطاء الصغيرة في تقديرات التقلب.
- لا يمكن نمذجة خيارات أسهم الموظفين بشكل صحيح مع شروط الأداء أو المدفوعات المحدودة.
شروط الأداء: لا يمكن تسعير الخيارات التي تعتمد على تحقيق معالم معينة بدقة باستخدام نموذج التقييم هذا.
الحدود القصوى: الخيارات التي تحد من المكاسب القصوى تقع أيضًا خارج افتراضات نموذج بلاك-شولز.
يُحذّر المحللون الماليون باستمرار من أن محدودية نموذج تسعير الخيارات بلاك-سكولز تجعله نقطة انطلاق، لا القرار النهائي. وكما يُشير الخبير المالي بيرتون مالكيل، "النماذج هي أدلة، وليست دلائل. نموذج بلاك-سكولز لا يُقدّر بثمن، ولكنه ليس معصومًا من الخطأ".
الخلاصة
نموذج بلاك-سكولز هو نموذج رياضي غيّر النظرية المالية الحديثة. قدّم أول إطار عمل مقبول على نطاق واسع لتسعير الخيارات، ولا يزال نموذج تسعير الخيارات الأكثر تأثيرًا والمستخدم حاليًا. مع أن افتراضاته المبسطة تعني أنه لا يتوافق دائمًا مع تحركات أسعار السوق، إلا أن متداولي ومحللي الخيارات لا يزالون يستخدمون نموذج بلاك-سكولز كأساس لتقييم الخيارات وفهم ديناميكيات التقلبات وسعر التنفيذ وسعر الأصل الأساسي.
يُجمع الخبراء على أن نموذج بلاك-سكولز ثوري وغير كامل. ويظل نموذجًا محوريًا في تداول الخيارات وتقييمها، إلا أن المحترفين يدركون حدوده، وغالبًا ما يدمجونه مع نماذج تقييم أخرى لفهم تعقيدات الأسواق الحديثة.
