Що таке модель Блека-Шоулза?
Модель Блека-Шоулза, яку іноді називають моделлю Блека-Шоулза-Мертона (BSM), вважається одним із наріжних каменів сучасної фінансової теорії. Ця модель ціноутворення опціонів визначає теоретичну вартість опціонного контракту, аналізуючи взаємозв'язок між поточною ціною акцій, ціною виконання, часом до закінчення терміну дії, безризиковою процентною ставкою та волатильністю.
Спочатку запропонована в 1973 році економістами Фішером Блеком, Майроном Шоулзом, а пізніше розширена Робертом Мертоном, ця модель була першою широко прийнятою моделлю оцінки опціонів на акції. Вона залишається стандартною моделлю ціноутворення опціонів на акції, валюти та навіть товари.
Модель є найточнішою для опціонів європейського типу, які можна виконати лише в день закінчення терміну дії, та для базових активів, які не виплачують дивіденди. Тим не менш, модель ціноутворення опціонів Блека-Шоулза була адаптована на практиці для обробки дивідендів та застосовується для оцінки опціонів на багатьох ринках.
Історія моделі Блека Шоулза
Модель Блека-Шоулза була першою широко визнаною моделлю ціноутворення опціонів. Економісти Фішер Блек та Майрон Шоулз опублікували свою математичну формулу в 1973 році в книзі «Ціноутворення опціонів та корпоративних зобов'язань» . Пізніше Роберт К. Мертон удосконалив її та ввів термін «модель ціноутворення опціонів Блека-Шоулза».
У початковій формулі використовувалися ринкова ціна базового активу, очікувані дивіденди, ціна виконання опціону, безризикова процентна ставка, час до закінчення терміну дії та волатильність базового активу. Скоулз і Мертон отримали Нобелівську премію в 1997 році за свою роботу. Фішер Блек помер, і його ім'я було відзначено посмертно.
Експерти наголошують, що поява цієї моделі ознаменувала «революцію в оцінці опціонів» (як зазначав лауреат Нобелівської премії Роберт Мертон), надавши фінансовим ринкам суворий та універсальний інструмент для ціноутворення деривативів. За словами професора фінансів Асвата Дамодарана, модель Блека-Шоулза залишається популярною не лише завдяки своїй точності, але й тому, що вона пропонує просту, узгоджену структуру, яку легко відтворити на різних ринках.
Розуміння вартості опціону на акції
У минулому вартість опціону на акції вимірювалася лише внутрішньою вартістю — різницею між ціною акції та ціною виконання опціону. Якщо поточна ціна акції дорівнювала ціні виконання, вартість вважалася нульовою.
Модель Блека-Шоулза була новаторською, оскільки вона показала, що навіть коли внутрішня вартість дорівнює нулю, опціон все ще має цінність через час та волатильність. Можливість майбутнього зростання ціни базового активу надає опціонам на акції додаткової вартості.
Фінансові аналітики часто зазначають, що це відкриття змінило торгівлю опціонами. Як колись пояснив стратег-дериватив Емануель Дерман, «геній Блека-Шоулза полягав у тому, щоб зробити сам час вимірюваним компонентом вартості».
Часова цінність проти внутрішньої цінності
Внутрішня вартість відображає вартість опціону, якщо його виконати негайно. Часова вартість, навпаки, відображає потенціал прибутку протягом терміну дії опціону. Наприклад, довгостроковий опціон на акції може не мати внутрішньої вартості сьогодні, але мати значну часову вартість через потенційне зростання ціни базового активу до дати закінчення терміну дії.
Як працює модель Блека-Шоулза
Модель ціноутворення опціонів Блека-Шоулза базується на припущенні, що ціни відповідають логарифмічно-нормальному розподілу, рухаючись з постійним дрейфом та волатильністю. Модель являє собою математичну формулу, яка дозволяє трейдерам опціонів оцінити справедливу ціну опціону, ввівши кілька важливих вхідних даних:
- Поточна ціна акції (S): ринкова ціна базового активу.
- Ціна виконання (K): Ціна виконання опціону.
- Час до закінчення терміну дії (T): Залишковий термін дії опціону, виражений у роках.
- Волатильність (σ): волатильність базового активу, що вимірює, наскільки коливається ціна акцій.
- Безризикова ставка (r): теоретична дохідність безризикової облігації.
- Тип опціону: опціон колл або опціон пут.
Фахівці ринку наголошують, що хоча вхідні дані виглядають простими, «проблема полягає в оцінці волатильності», каже Нассім Ніколас Талеб, який багато писав про опціони. Неправильна оцінка волатильності може суттєво спотворити ціну опціону.
Формула моделі Блека-Шоулза
Модель надає математичне рівняння як для опціонів колл, так і для опціонів пут:
Ціна опціону колл (C):
C = S·N(d1) − K·e^(−rt)·N(d2)
Ціна опціону пут (P):
P = K·e^(−rt)·N(−d2) − S·N(−d1)
Де:
- C = вартість колл-опціону Блека-Шоулза
- P = Вартість опціону пут
- S = Поточна ціна акцій
- K = Ціна виконання
- r = Безризикова процентна ставка
- t = Час до закінчення терміну дії
- N = Стандартний нормальний розподіл
d1 = [ln(S/K) + (r + σ²/2)·t] / (σ√t)
d2 = d1 − σ√t
Ця формула ціни опціону залишається еталоном для оцінки опціонів на фінансових ринках.
Приклад: Оцінка опціонів за допомогою Блека-Шоулза
Оберіть європейський опціон на XYZ Corp:
- Поточна ціна акцій = 100 доларів США
- Ціна виконання = $110
- Час до закінчення терміну дії = 0,25 року (90 днів)
- Значення волатильності = 20%
- Безризикова ставка = 5%
Коли ви використовуєте формулу моделі Блека-Шоулза з цими вхідними даними, ви розраховуєте ціну опціону колл приблизно на рівні $6,64. Ця вартість опціону відображає поточну вартість базового активу та ймовірність того, що опціон закінчиться з грошима.
Припущення Блека-Шоулза
Модель припускає:
- Ринки ефективні та відображають всю доступну інформацію.
- Безризикова процентна ставка є постійною з часом.
- Ціни відповідають логарифмічно нормальному розподілу.
- Протягом терміну дії опціону дивіденди не виплачуються (хоча пізніші коригування можуть включати дивіденди).
- Жодних податків, витрат чи бар'єрів для купівлі та продажу.
- Розглядаються лише європейські опціони, а не опціони американського зразка.
Експерти наголошують, що ці припущення, хоча й корисні для спрощення математичних розрахунків, обмежують точність моделі в реальному світі. «Кожне припущення є потенційним джерелом помилки», – зазначає Джон Халл, провідний спеціаліст з похідних фінансових інструментів.
Асиметрія волатильності
Хоча модель припускає постійну волатильність, реальні ринки часто демонструють перекіс волатильності. Після таких подій, як крах ринку 1987 року, імпліцитна волатильність за цінами виконання розійшлася, що виявило одне з основних обмежень моделі Блека-Шоулза. Ця невідповідність показує, чому оцінка опціонів іноді вимагає альтернативних методів.
Переваги моделі ціноутворення опціонів Блека-Шоулза
- Забезпечує прозору та стандартизовану основу для ціноутворення.
- Підтримує швидку оцінку за допомогою чіткої математичної формули.
- Допомагає інвесторам керувати ризиками та будувати складні опціонні стратегії.
- Заохочує послідовне ціноутворення опціонів на акції на світових ринках.
Такі практики, як колишній трейдер опціонів Емануель Дерман, стверджують, що «без формули Блека-Шоулза сучасні ринки опціонів, якими ми їх знаємо, не існували б». Ця формула дала трейдерам спільну мову та надійну точку відліку.
Обмеження моделі Блека-Шоулза
Обмеження моделі Блека-Шоулза включають:
- Працює належним чином лише для європейських опцій.
- Припускає постійну волатильність та постійну безризикову ставку, що може не відображати реальність.
- Ігнорує дивіденди в їхній базовій формі.
- Чутливий до невеликих помилок в оцінках волатильності.
- Неможливо належним чином змоделювати опціони на акції працівників з умовами ефективності або обмеженими виплатами.
Умови ефективності: Опціони, які залежать від досягнення певних етапів, не можуть бути точно оцінені за допомогою цієї моделі оцінки.
Обмежені ліміти: Опціони, що обмежують максимальний прибуток, також не підпадають під припущення моделі Блека-Шоулза.
Фінансові аналітики часто застерігають, що обмеження моделі ціноутворення опціонів Блека-Шоулза роблять її відправною точкою, а не остаточним рішенням. Як зазначає фінансовий експерт Бертон Малкіел, «моделі — це дороговкази, а не оракули. Модель Блека-Шоулза безцінна, але вона не безпомилкова».
Підсумок
Модель Блека-Шоулза – це математична модель, яка змінила сучасну фінансову теорію. Вона забезпечила першу широко визнану основу для ціноутворення опціонів і залишається найвпливовішою моделлю ціноутворення опціонів, що використовується сьогодні. Хоча її спрощені припущення означають, що вона не завжди відповідає рухам ринкових цін, трейдери опціонів та аналітики досі використовують модель Блека-Шоулза як основу для оцінки опціонів та розуміння динаміки волатильності, ціни виконання та ціни базового активу.
Експерти дійшли згоди, що модель Блека-Шоулза є одночасно революційною та недосконалою. Вона залишається центральною для торгівлі опціонами та оцінки, але професіонали усвідомлюють її обмеження та часто поєднують її з іншими моделями оцінки, щоб врахувати складнощі сучасних ринків.
