O que é o modelo Black Scholes?
O modelo Black-Scholes, às vezes chamado de modelo Black-Scholes-Merton (BSM), é considerado um dos pilares da teoria financeira moderna. Este modelo de precificação de opções determina o valor teórico de um contrato de opção analisando a relação entre o preço atual da ação, o preço de exercício, o prazo de vencimento, a taxa de juros livre de risco e a volatilidade.
Originalmente introduzido em 1973 pelos economistas Fischer Black e Myron Scholes, e posteriormente expandido por Robert Merton, o modelo foi o primeiro modelo de avaliação amplamente adotado para opções de ações. Continua sendo o modelo padrão de precificação de opções para avaliar opções sobre ações, moedas e até commodities.
O modelo é mais preciso para opções de estilo europeu, que só podem ser exercidas na data de vencimento, e para ativos subjacentes que não pagam dividendos. Ainda assim, o modelo de precificação de opções Black-Scholes foi adaptado na prática para lidar com dividendos e aplicado na avaliação de opções em diversos mercados.
História do Modelo Black Scholes
O modelo Black-Scholes foi o primeiro modelo de precificação de opções amplamente reconhecido. Os economistas Fischer Black e Myron Scholes publicaram sua fórmula matemática em 1973 em "The Pricing of Options and Corporate Liabilities" . Robert C. Merton posteriormente a refinou e cunhou o termo "modelo Black-Scholes de precificação de opções".
A fórmula original utilizava o preço de mercado da ação subjacente, os dividendos esperados, o preço de exercício, a taxa de juros livre de risco, o prazo de vencimento e a volatilidade do ativo subjacente. Scholes e Merton receberam o Prêmio Nobel em 1997 por seu trabalho. Fischer Black faleceu e foi homenageado postumamente.
Especialistas destacam que a chegada do modelo marcou "uma revolução na avaliação de opções" (como observado pelo ganhador do Prêmio Nobel Robert Merton), proporcionando aos mercados financeiros uma ferramenta rigorosa e universal para a precificação de derivativos. Segundo o professor de finanças Aswath Damodaran, o modelo Black-Scholes continua popular não apenas por sua precisão, mas também por oferecer uma estrutura simples e consistente, fácil de replicar em todos os mercados.
Compreendendo o valor de uma opção de ações
No passado, o valor de uma opção de ação era medido apenas pelo valor intrínseco — a diferença entre o preço da ação e o preço de exercício. Se o preço atual da ação fosse igual ao preço de exercício, o valor era considerado zero.
O modelo Black-Scholes foi inovador porque mostrou que, mesmo quando o valor intrínseco é zero, a opção ainda tem valor devido ao tempo e à volatilidade. A possibilidade de aumentos futuros no preço do ativo subjacente confere valor adicional às opções de ações.
Analistas financeiros frequentemente observam que essa percepção remodelou a negociação de opções. Como o estrategista de derivativos Emanuel Derman explicou certa vez, "a genialidade de Black-Scholes foi fazer do próprio tempo um componente mensurável do valor".
Valor Temporal vs. Valor Intrínseco
O valor intrínseco reflete o valor de uma opção se exercida imediatamente. O valor temporal, por outro lado, representa o potencial de ganhos durante a vida da opção. Uma opção de ação de longo prazo, por exemplo, pode não ter valor intrínseco hoje, mas ter um valor temporal significativo devido ao potencial de valorização do preço da ação subjacente antes da data de vencimento.
Como funciona o modelo Black-Scholes
O modelo de precificação de opções Black-Scholes baseia-se na premissa de que os preços seguem uma distribuição log-normal, movendo-se com desvio e volatilidade constantes. O modelo é uma fórmula matemática que permite aos negociadores de opções estimar o preço justo da opção, inserindo alguns dados essenciais:
- Preço atual da ação (S): O preço de mercado do ativo subjacente.
- Preço de Exercício (K): O preço de exercício da opção.
- Tempo até a expiração (T): A vida útil restante da opção, expressa em anos.
- Volatilidade (σ): A volatilidade do ativo subjacente, medindo o quanto o preço das ações flutua.
- Taxa livre de risco (r): O retorno teórico de um título sem risco.
- Tipo de opção: opção de compra ou opção de venda.
Profissionais do mercado enfatizam que, embora os dados pareçam simples, "o desafio está em estimar a volatilidade", afirma Nassim Nicholas Taleb, extensivo autor de textos sobre opções. Avaliar mal a volatilidade pode distorcer drasticamente o preço de uma opção.
A Fórmula do Modelo Black-Scholes
O modelo fornece uma equação matemática para opções de compra e venda:
Preço da opção de compra (C):
C = S·N(d1) − K·e^(−rt)·N(d2)
Preço da opção de venda (P):
P = K·e^(−rt)·N(−d2) − S·N(−d1)
Onde:
- C = Valor da opção de compra Black-Scholes
- P = Valor da opção de venda
- S = Preço atual da ação
- K = Preço de exercício
- r = Taxa de juros livre de risco
- t = Tempo de expiração
- N = Distribuição normal padrão
d1 = [ln(S/K) + (r + σ²/2)·t] / (σ√t)
d2 = d1 − σ√t
Esta fórmula para o preço de uma opção continua sendo a referência para avaliar opções nos mercados financeiros.
Exemplo: Avaliação de opções com Black-Scholes
Escolha uma opção europeia na XYZ Corp:
- Preço atual das ações = US$ 100
- Preço de exercício = $ 110
- Tempo de expiração = 0,25 anos (90 dias)
- Valor de volatilidade = 20%
- Taxa livre de risco = 5%
Ao usar a fórmula do modelo Black-Scholes com essas entradas, você calcula um preço de opção de compra de aproximadamente US$ 6,64. Esse valor da opção reflete o valor presente do ativo subjacente e a probabilidade de a opção expirar no dinheiro.
Suposições de Black-Scholes
O modelo assume:
- Os mercados são eficientes e refletem todas as informações disponíveis.
- A taxa de juros livre de risco é constante ao longo do tempo.
- Os preços seguem uma distribuição log-normal.
- Nenhum dividendo é pago durante a vida da opção (embora ajustes posteriores possam incorporar dividendos).
- Sem impostos, custos ou barreiras para comprar e vender.
- Somente opções europeias são consideradas, não opções no estilo americano.
Especialistas enfatizam que essas suposições, embora úteis para simplificar a matemática, limitam a precisão do modelo no mundo real. "Toda suposição é uma fonte potencial de erro", observa John Hull, uma das principais autoridades em derivativos.
Desvio de volatilidade
Embora o modelo assuma volatilidade constante, os mercados do mundo real frequentemente apresentam distorções de volatilidade. Após eventos como a quebra do mercado de 1987, a volatilidade implícita nos preços de exercício divergiu, revelando uma das principais limitações do modelo de Black-Scholes. Essa incompatibilidade demonstra por que a avaliação de opções às vezes requer métodos alternativos.
Vantagens do modelo de precificação de opções Black-Scholes
- Fornece uma estrutura transparente e padronizada para opções de preços.
- Oferece suporte para avaliação rápida com uma fórmula matemática clara.
- Ajuda investidores a gerenciar riscos e criar estratégias de opções complexas.
- Incentiva a precificação consistente de opções de ações em mercados globais.
Profissionais como o ex-operador de opções Emanuel Derman argumentam que "sem a Black-Scholes, os mercados de opções modernos como os conhecemos não existiriam". A fórmula proporcionou aos operadores uma linguagem comum e um ponto de referência confiável.
Limitações do Modelo Black-Scholes
As limitações do modelo Black-Scholes incluem:
- Funciona corretamente somente para opções europeias.
- Assume volatilidade constante e uma taxa livre de risco constante, o que pode não refletir a realidade.
- Ignora dividendos em sua forma básica.
- Sensível a pequenos erros em estimativas de volatilidade.
- Não é possível modelar adequadamente opções de ações de funcionários com condições de desempenho ou pagamentos limitados.
Condições de desempenho: opções que dependem do alcance de determinados marcos não podem ser precificadas com precisão com este modelo de avaliação.
Limites Limitados: Opções que limitam ganhos máximos também ficam fora das premissas do modelo Black-Scholes.
Analistas financeiros frequentemente alertam que as limitações do modelo de precificação de opções Black-Scholes o tornam um ponto de partida, não a palavra final. Como aponta o especialista em finanças Burton Malkiel, "modelos são guias, não oráculos. O Black-Scholes é inestimável, mas não é infalível".
O resultado final
O modelo Black-Scholes é um modelo matemático que mudou a teoria financeira moderna. Ele forneceu a primeira estrutura amplamente aceita para a precificação de opções e continua sendo o modelo de precificação de opções mais influente em uso atualmente. Embora suas premissas simplificadoras signifiquem que ele nem sempre acompanha os movimentos dos preços de mercado, traders e analistas de opções ainda utilizam o modelo Black-Scholes como base para avaliar opções e compreender a dinâmica da volatilidade, do preço de exercício e do preço do ativo subjacente.
O consenso dos especialistas é que o modelo Black-Scholes é revolucionário e imperfeito. Ele continua sendo fundamental para a negociação e avaliação de opções, mas os profissionais estão cientes de suas limitações e frequentemente o combinam com outros modelos de avaliação para captar as complexidades dos mercados modernos.
