¿Qué es el modelo Black Scholes?
El modelo Black-Scholes, a veces llamado modelo Black-Scholes-Merton (BSM), se considera uno de los pilares de la teoría financiera moderna. Este modelo de valoración de opciones determina el valor teórico de un contrato de opción analizando la relación entre el precio actual de la acción, el precio de ejercicio, el plazo de vencimiento, la tasa de interés libre de riesgo y la volatilidad.
Introducido originalmente en 1973 por los economistas Fischer Black y Myron Scholes, y posteriormente ampliado por Robert Merton, este modelo fue el primer modelo de valoración de opciones sobre acciones ampliamente adoptado. Sigue siendo el modelo estándar de valoración de opciones sobre acciones, divisas e incluso materias primas.
El modelo es más preciso para las opciones de estilo europeo, que solo pueden ejercerse en la fecha de vencimiento, y para los activos subyacentes que no pagan dividendos. Aun así, el modelo de valoración de opciones de Black-Scholes se ha adaptado en la práctica para gestionar dividendos y se ha aplicado en la valoración de opciones en numerosos mercados.
Historia del modelo Black Scholes
El modelo Black-Scholes fue el primer modelo de valoración de opciones ampliamente reconocido. Los economistas Fischer Black y Myron Scholes publicaron su fórmula matemática en 1973 en «La valoración de opciones y pasivos corporativos» . Posteriormente, Robert C. Merton la perfeccionó y acuñó el término «modelo de valoración de opciones Black-Scholes».
La fórmula original utilizaba el precio de mercado de la acción subyacente, los dividendos esperados, el precio de ejercicio, la tasa de interés libre de riesgo, el plazo de vencimiento y la volatilidad del activo subyacente. Scholes y Merton recibieron el Premio Nobel en 1997 por su trabajo. Fischer Black había fallecido y recibió un reconocimiento póstumo.
Los expertos destacan que la llegada del modelo marcó una revolución en la valoración de opciones (como señaló el premio Nobel Robert Merton), proporcionando a los mercados financieros una herramienta rigurosa y universal para la valoración de derivados. Según el profesor de finanzas Aswath Damodaran, el modelo Black-Scholes sigue siendo popular no solo por su precisión, sino porque ofrece un marco simple y consistente, fácil de replicar en diferentes mercados.
Entendiendo el valor de una opción sobre acciones
Anteriormente, el valor de una opción sobre acciones se medía únicamente por su valor intrínseco: la diferencia entre el precio de la acción y el precio de ejercicio. Si el precio actual de la acción era igual al precio de ejercicio, se asumía que el valor era cero.
El modelo Black-Scholes fue revolucionario porque demostró que, incluso cuando el valor intrínseco es cero, la opción conserva su valor debido al tiempo y la volatilidad. La posibilidad de futuras subidas del precio del activo subyacente confiere a las opciones sobre acciones un valor adicional.
Los analistas financieros suelen señalar que esta idea transformó el trading de opciones. Como explicó en una ocasión el estratega de derivados Emanuel Derman: «La genialidad de Black-Scholes residió en convertir el tiempo en un componente medible del valor».
Valor temporal vs. valor intrínseco
El valor intrínseco refleja el valor de una opción si se ejerce inmediatamente. El valor temporal, en cambio, representa el potencial de ganancias durante la vigencia de la opción. Por ejemplo, una opción sobre acciones a largo plazo puede no tener valor intrínseco hoy, pero sí un valor temporal significativo debido al potencial crecimiento del precio de la acción subyacente antes de su fecha de vencimiento.
Cómo funciona el modelo Black-Scholes
El modelo de valoración de opciones de Black-Scholes se basa en el supuesto de que los precios siguen una distribución logarítmica normal, con fluctuaciones y volatilidad constantes. El modelo es una fórmula matemática que permite a los operadores de opciones estimar el precio justo de la opción introduciendo algunos datos esenciales:
- Precio actual de la acción (S): El precio de mercado del activo subyacente.
- Precio de ejercicio (K): El precio de ejercicio de la opción.
- Tiempo hasta el vencimiento (T): La vida restante de la opción, expresada en años.
- Volatilidad (σ): La volatilidad del activo subyacente, que mide cuánto fluctúa el precio de la acción.
- Tasa libre de riesgo (r): El rendimiento teórico de un bono libre de riesgo.
- Tipo de opción: Opción de compra o opción de venta.
Los profesionales del mercado enfatizan que, si bien los datos parecen simples, «el desafío radica en estimar la volatilidad», afirma Nassim Nicholas Taleb, quien ha escrito extensamente sobre opciones. Un cálculo erróneo de la volatilidad puede distorsionar drásticamente el precio de una opción.
La fórmula del modelo Black-Scholes
El modelo proporciona una ecuación matemática tanto para las opciones de compra como de venta:
Precio de la opción de compra (C):
C = S·N(d1) − K·e^(−rt)·N(d2)
Precio de la opción de venta (P):
P = K·e^(−rt)·N(−d2) − S·N(−d1)
Dónde:
- C = Valor de la opción de compra de Black-Scholes
- P = Valor de la opción de venta
- S = Precio actual de las acciones
- K = Precio de ejercicio
- r = Tasa de interés libre de riesgo
- t = Tiempo hasta la expiración
- N = Distribución normal estándar
d1 = [ln(S/K) + (r + σ²/2)·t] / (σ√t)
d2 = d1 − σ√t
Esta fórmula para el precio de una opción sigue siendo la referencia para valorar las opciones en los mercados financieros.
Ejemplo: Valoración de opciones con Black-Scholes
Tome una opción europea sobre XYZ Corp:
- Precio actual de las acciones = $100
- Precio de ejercicio = $110
- Tiempo hasta el vencimiento = 0,25 años (90 días)
- Valor de volatilidad = 20%
- Tasa libre de riesgo = 5%
Al utilizar la fórmula del modelo Black-Scholes con estos datos, se calcula un precio de opción de compra de aproximadamente $6,64. Este valor refleja el valor actual del activo subyacente y la probabilidad de que la opción venza en el dinero.
Supuestos de Black-Scholes
El modelo supone:
- Los mercados son eficientes y reflejan toda la información disponible.
- La tasa de interés libre de riesgo es constante a lo largo del tiempo.
- Los precios siguen una distribución log-normal.
- No se paga ningún dividendo durante la vida de la opción (aunque los ajustes posteriores pueden incorporar dividendos).
- Sin impuestos, costos ni barreras para comprar y vender.
- Sólo se consideran opciones europeas, no opciones de estilo americano.
Los expertos enfatizan que estas suposiciones, si bien son útiles para simplificar las matemáticas, limitan la precisión del modelo en el mundo real. «Toda suposición es una fuente potencial de error», señala John Hull, experto en derivadas.
Sesgo de volatilidad
Si bien el modelo asume una volatilidad constante, los mercados reales suelen presentar una volatilidad sesgada. Tras eventos como el desplome del mercado de 1987, la volatilidad implícita entre los precios de ejercicio ha divergido, lo que revela una de las principales limitaciones del modelo de Black-Scholes. Este desajuste muestra por qué la valoración de opciones a veces requiere métodos alternativos.
Ventajas del modelo de valoración de opciones de Black-Scholes
- Proporciona un marco transparente y estandarizado para la fijación de precios de las opciones.
- Admite una valoración rápida con una fórmula matemática clara.
- Ayuda a los inversores a gestionar el riesgo y crear estrategias de opciones complejas.
- Fomenta la fijación de precios consistentes de las opciones sobre acciones en los mercados globales.
Profesionales como el exoperador de opciones Emanuel Derman argumentan que «sin Black-Scholes, los mercados de opciones modernos tal como los conocemos no existirían». La fórmula proporcionó a los operadores un lenguaje común y un punto de referencia fiable.
Limitaciones del modelo de Black-Scholes
Las limitaciones del modelo de Black-Scholes incluyen:
- Sólo funciona correctamente con las opciones europeas.
- Supone una volatilidad constante y una tasa libre de riesgo constante, lo que puede no reflejar la realidad.
- Ignora los dividendos en su forma básica.
- Sensible a pequeños errores en las estimaciones de volatilidad.
- No se pueden modelar adecuadamente las opciones sobre acciones de los empleados con condiciones de desempeño o pagos limitados.
Condiciones de rendimiento: Las opciones que dependen del cumplimiento de determinados hitos no pueden tener un precio preciso con este modelo de valoración.
Límites limitados: las opciones que limitan las ganancias máximas también quedan fuera de los supuestos del modelo de Black-Scholes.
Los analistas financieros advierten con frecuencia que las limitaciones del modelo de valoración de opciones Black-Scholes lo convierten en un punto de partida, no en la última palabra. Como señala el experto en finanzas Burton Malkiel: «Los modelos son guías, no oráculos. Black-Scholes es invaluable, pero no es infalible».
El resultado final
El modelo de Black-Scholes es un modelo matemático que revolucionó la teoría financiera moderna. Proporcionó el primer marco ampliamente aceptado para la valoración de opciones y sigue siendo el modelo de valoración de opciones más influyente en la actualidad. Si bien sus supuestos simplificadores implican que no siempre coincide con las fluctuaciones del precio del mercado, los operadores y analistas de opciones aún utilizan el modelo de Black-Scholes como base para valorar opciones y comprender la dinámica de la volatilidad, el precio de ejercicio y el precio del activo subyacente.
El consenso de los expertos es que el modelo Black-Scholes es revolucionario e imperfecto. Sigue siendo fundamental para la negociación y valoración de opciones, pero los profesionales son conscientes de sus limitaciones y suelen combinarlo con otros modelos de valoración para captar las complejidades de los mercados modernos.
