Was ist das Black-Scholes-Modell?
Das Black-Scholes-Modell, manchmal auch Black-Scholes-Merton-Modell (BSM-Modell) genannt, gilt als einer der Eckpfeiler der modernen Finanztheorie. Dieses Optionspreismodell ermittelt den theoretischen Wert eines Optionskontrakts durch Analyse der Beziehung zwischen dem aktuellen Aktienkurs, dem Ausübungspreis, der Laufzeit, dem risikofreien Zinssatz und der Volatilität.
Das Modell wurde 1973 von den Ökonomen Fischer Black und Myron Scholes eingeführt und später von Robert Merton erweitert. Es war das erste weit verbreitete Bewertungsmodell für Aktienoptionen. Es ist bis heute das Standardmodell zur Bewertung von Optionen auf Aktien, Währungen und sogar Rohstoffe.
Das Modell ist am genauesten für europäische Optionen, die nur am Verfallsdatum ausgeübt werden können, und für Basiswerte, die keine Dividende ausschütten. Dennoch wurde das Black-Scholes-Optionspreismodell in der Praxis an die Behandlung von Dividenden angepasst und zur Bewertung von Optionen in vielen Märkten eingesetzt.
Geschichte des Black-Scholes-Modells
Das Black-Scholes-Modell war das erste weithin anerkannte Optionspreismodell. Die Ökonomen Fischer Black und Myron Scholes veröffentlichten ihre mathematische Formel 1973 in The Pricing of Options and Corporate Liabilities . Robert C. Merton verfeinerte sie später und prägte den Begriff „Black-Scholes-Optionspreismodell“.
Die ursprüngliche Formel verwendete den Marktpreis der zugrunde liegenden Aktie, die erwarteten Dividenden, den Ausübungspreis, den risikofreien Zinssatz, die Restlaufzeit und die Volatilität des Basiswerts. Scholes und Merton erhielten 1997 für ihre Arbeit den Nobelpreis. Fischer Black war verstorben und wurde posthum geehrt.
Experten betonen, dass die Einführung des Modells eine „Revolution in der Bewertung von Optionen“ (wie Nobelpreisträger Robert Merton feststellte) markierte und den Finanzmärkten ein rigoroses und universelles Instrument zur Preisgestaltung von Derivaten an die Hand gab. Laut Finanzprofessor Aswath Damodaran ist das Black-Scholes-Modell nicht nur wegen seiner Präzision nach wie vor beliebt, sondern auch, weil es einen einfachen, konsistenten Rahmen bietet, der sich leicht auf andere Märkte übertragen lässt.
Den Wert einer Aktienoption verstehen
In der Vergangenheit wurde der Wert einer Aktienoption nur anhand des inneren Werts gemessen – der Differenz zwischen dem Aktienkurs und dem Ausübungspreis. Entsprach der aktuelle Aktienkurs dem Ausübungspreis, wurde der Wert mit Null angenommen.
Das Black-Scholes-Modell war bahnbrechend, da es zeigte, dass die Option auch dann noch einen Wert hat, wenn ihr innerer Wert Null ist. Dies ist auf Zeit und Volatilität zurückzuführen. Die Möglichkeit zukünftiger Kurssteigerungen des Basiswerts verleiht Aktienoptionen zusätzlichen Wert.
Finanzanalysten weisen oft darauf hin, dass diese Erkenntnis den Optionshandel grundlegend verändert hat. Der Derivate-Stratege Emanuel Derman erklärte einmal: „Das Genie von Black-Scholes bestand darin, die Zeit selbst zu einer messbaren Wertkomponente zu machen.“
Zeitwert vs. innerer Wert
Der innere Wert gibt an, was eine Option wert ist, wenn sie sofort ausgeübt wird. Der Zeitwert hingegen stellt das Gewinnpotenzial während der Laufzeit der Option dar. Eine Aktienoption mit langer Laufzeit kann beispielsweise heute keinen inneren Wert haben, aber aufgrund des potenziellen Kursanstiegs der zugrunde liegenden Aktie vor dem Ablaufdatum einen erheblichen Zeitwert.
Wie das Black-Scholes-Modell funktioniert
Das Black-Scholes-Optionspreismodell basiert auf der Annahme, dass Preise einer logarithmischen Normalverteilung folgen und sich mit konstanter Drift und Volatilität bewegen. Das Modell basiert auf einer mathematischen Formel, die es Optionshändlern ermöglicht, den fairen Optionspreis durch die Eingabe einiger wichtiger Parameter zu schätzen:
- Aktueller Aktienkurs (S): Der Marktpreis des Basiswerts.
- Ausübungspreis (K): Der Ausübungspreis der Option.
- Zeit bis zum Ablauf (T): Die verbleibende Laufzeit der Option, ausgedrückt in Jahren.
- Volatilität (σ): Die Volatilität des Basiswerts, die angibt, wie stark der Aktienkurs schwankt.
- Risikofreier Zinssatz (r): Die theoretische Rendite einer risikofreien Anleihe.
- Optionstyp: Kaufoption oder Verkaufsoption.
Marktexperten betonen, dass die Eingaben zwar einfach erscheinen, „die Herausforderung aber in der Einschätzung der Volatilität liegt“, sagt Nassim Nicholas Taleb, der viel über Optionen geschrieben hat. Eine Fehleinschätzung der Volatilität kann den Preis einer Option dramatisch verzerren.
Die Black-Scholes-Modellformel
Das Modell bietet eine mathematische Gleichung für Call- und Put-Optionen:
Call-Optionspreis (C):
C = S·N(d1) − K·e^(−rt)·N(d2)
Preis der Put-Option (P):
P = K·e^(−rt)·N(−d2) − S·N(−d1)
Wo:
- C = Wert der Black-Scholes-Kaufoption
- P = Wert der Put-Option
- S = Aktueller Aktienkurs
- K = Ausübungspreis
- r = risikofreier Zinssatz
- t = Zeit bis zum Ablauf
- N = Standardnormalverteilung
d1 = [ln(S/K) + (r + σ²/2)·t] / (σ√t)
d2 = d1 − σ√t
Diese Formel für den Preis einer Option bleibt der Maßstab für die Bewertung von Optionen auf den Finanzmärkten.
Beispiel: Bewertung von Optionen mit Black-Scholes
Nehmen Sie eine europäische Option auf XYZ Corp:
- Aktueller Aktienkurs = 100 $
- Ausübungspreis = 110 $
- Zeit bis zum Ablauf = 0,25 Jahre (90 Tage)
- Volatilitätswert = 20 %
- Risikofreier Zinssatz = 5 %
Wenn Sie die Formel des Black-Scholes-Modells mit diesen Eingaben verwenden, berechnen Sie einen Call-Optionspreis von etwa 6,64 US-Dollar. Dieser Optionswert spiegelt den Barwert des Basiswerts und die Wahrscheinlichkeit wider, dass die Option im Geld verfällt.
Black-Scholes-Annahmen
Das Modell geht von folgenden Annahmen aus:
- Märkte sind effizient und spiegeln alle verfügbaren Informationen wider.
- Der risikofreie Zinssatz ist über die Zeit konstant.
- Die Preise folgen einer logarithmischen Normalverteilung.
- Während der Laufzeit der Option wird keine Dividende ausgezahlt (obwohl spätere Anpassungen Dividenden beinhalten können).
- Keine Steuern, Kosten oder Kauf- und Verkaufsbarrieren.
- Es werden nur europäische Optionen berücksichtigt, keine Optionen im amerikanischen Stil.
Experten betonen, dass diese Annahmen zwar hilfreich für die Vereinfachung der Mathematik sind, die Genauigkeit des Modells in der Praxis jedoch einschränken. „Jede Annahme ist eine potenzielle Fehlerquelle“, bemerkt John Hull, ein führender Experte auf dem Gebiet der Ableitungen.
Volatilitätsschiefe
Während das Modell von konstanter Volatilität ausgeht, weisen reale Märkte häufig eine Volatilitätsschiefe auf. Nach Ereignissen wie dem Börsencrash von 1987 divergierte die implizite Volatilität über die Ausübungspreise hinweg, was eine der größten Schwächen des Black-Scholes-Modells offenbart. Diese Diskrepanz zeigt, warum die Bewertung von Optionen manchmal alternative Methoden erfordert.
Vorteile des Black-Scholes-Optionspreismodells
- Bietet einen transparenten und standardisierten Rahmen für Preisoptionen.
- Unterstützt eine schnelle Bewertung mit einer klaren mathematischen Formel.
- Hilft Anlegern, Risiken zu managen und komplexe Optionsstrategien zu entwickeln.
- Fördert eine einheitliche Preisgestaltung von Aktienoptionen auf den globalen Märkten.
Praktiker wie der ehemalige Optionshändler Emanuel Derman argumentieren, dass „ohne Black-Scholes die modernen Optionsmärkte, wie wir sie kennen, nicht existieren würden.“ Die Formel gab den Händlern eine gemeinsame Sprache und einen zuverlässigen Bezugspunkt.
Einschränkungen des Black-Scholes-Modells
Zu den Einschränkungen des Black-Scholes-Modells gehören:
- Funktioniert nur ordnungsgemäß für europäische Optionen.
- Geht von konstanter Volatilität und einem konstanten risikofreien Zinssatz aus, was möglicherweise nicht der Realität entspricht.
- Ignoriert Dividenden in ihrer Grundform.
- Empfindlich gegenüber kleinen Fehlern bei der Volatilitätsschätzung.
- Mitarbeiteraktienoptionen mit Leistungsbedingungen oder begrenzten Auszahlungen können nicht richtig modelliert werden.
Leistungsbedingungen: Optionen, die vom Erreichen bestimmter Meilensteine abhängen, können mit diesem Bewertungsmodell nicht genau bewertet werden.
Begrenzte Grenzen: Optionen, die maximale Gewinne begrenzen, fallen ebenfalls nicht unter die Annahmen des Black-Scholes-Modells.
Finanzanalysten weisen häufig darauf hin, dass das Black-Scholes-Optionspreismodell aufgrund seiner Einschränkungen nur ein Ausgangspunkt und nicht das letzte Wort sei. Finanzexperte Burton Malkiel betont: „Modelle sind Orientierungshilfen, keine Orakel. Black-Scholes ist von unschätzbarem Wert, aber nicht unfehlbar.“
Das Fazit
Das Black-Scholes-Modell ist ein mathematisches Modell, das die moderne Finanztheorie revolutionierte. Es lieferte den ersten allgemein anerkannten Rahmen für die Preisgestaltung von Optionen und ist bis heute das einflussreichste Optionspreismodell. Obwohl es aufgrund seiner vereinfachenden Annahmen nicht immer mit Marktpreisbewegungen übereinstimmt, verwenden Optionshändler und -analysten das Black-Scholes-Modell weiterhin als Grundlage für die Bewertung von Optionen und das Verständnis der Dynamik von Volatilität, Ausübungspreis und Preis des Basiswerts.
Experten sind sich einig, dass das Black-Scholes-Modell sowohl revolutionär als auch unvollkommen ist. Es ist nach wie vor von zentraler Bedeutung für den Optionshandel und die Optionsbewertung. Experten sind sich jedoch seiner Grenzen bewusst und kombinieren es häufig mit anderen Bewertungsmodellen, um die Komplexität moderner Märkte zu erfassen.
