什么是布莱克-舒尔斯模型？
布莱克-斯科尔斯模型，有时也称为布莱克-斯科尔斯-默顿 (BSM) 模型，被认为是现代金融理论的基石之一。该期权定价模型通过分析当前股票价格、执行价格、到期时间、无风险利率和波动率之间的关系来确定期权合约的理论价值。
该模型最初由经济学家费舍尔·布莱克和迈伦·斯科尔斯于1973年提出，后来由罗伯特·默顿进行了扩展。它是第一个被广泛采用的股票期权估值模型。至今，它仍然是股票、货币乃至大宗商品期权估值的标准期权定价模型。
该模型对于欧式期权（只能在到期日行使）以及不支付股息的标的资产最为准确。尽管如此，布莱克-斯科尔斯期权定价模型在实践中已被调整以处理股息，并应用于许多市场的期权估值。
布莱克-舒尔斯模型的历史
布莱克-斯科尔斯模型是第一个被广泛认可的期权定价模型。经济学家菲舍尔·布莱克和迈伦·斯科尔斯于1973年在《期权和公司负债定价》一书中发表了他们的数学公式。罗伯特·C·默顿后来对其进行了改进，并创造了“布莱克-斯科尔斯期权定价模型”一词。
原始公式使用了标的股票的市场价格、预期股息、执行价格（行使价）、无风险利率、到期时间以及标的资产的波动率。斯科尔斯和默顿因其研究成果于1997年获得诺贝尔奖。费希尔·布莱克已故，其研究成果被追授。
专家强调，该模型的出现标志着“期权估值的一场革命”（诺贝尔奖得主罗伯特·默顿曾指出），为金融市场提供了一个严格且通用的衍生品定价工具。金融学教授阿斯瓦斯·达摩达兰认为，布莱克-斯科尔斯模型之所以如此受欢迎，不仅是因为它的精准性，还因为它提供了一个简单、一致的框架，易于在各个市场复制。
了解股票期权的价值
过去，股票期权的价值仅以内在价值（即股票价格与行权价格之间的差额）来衡量。如果当前股票价格等于行权价格，则期权价值被假定为零。
布莱克-斯科尔斯模型具有开创性，因为它表明即使内在价值为零，期权仍然会因时间和波动性而具有价值。标的资产价格未来上涨的可能性赋予了股票期权额外的价值。
金融分析师经常指出，这一洞见重塑了期权交易。正如衍生品策略师伊曼纽尔·德曼（Emanuel Derman）曾经解释的那样：“布莱克-斯科尔斯期权定价模型的天才之处在于，它让时间本身成为了价值的可衡量组成部分。”
时间价值与内在价值
内在价值反映的是期权立即行使时的价值。而时间价值则代表期权有效期内的潜在收益。例如，长期股票期权目前可能没有内在价值，但由于标的股票价格在到期日前可能上涨，因此具有显著的时间价值。
布莱克-斯科尔斯模型如何运作
Black-Scholes期权定价模型基于价格服从对数正态分布的假设，即价格具有恒定的漂移和波动性。该模型是一个数学公式，期权交易者可以通过输入一些基本输入来估算公平期权价格：
- 当前股票价格（S）：标的资产的市场价格。
- 执行价格（K）：期权的行使价格。
- 到期时间（T）：期权的剩余期限，以年为单位。
- 波动率（σ）：标的资产的波动率，衡量股票价格的波动幅度。
- 无风险利率（r）：无风险债券的理论回报。
- 期权类型：看涨期权或看跌期权。
市场从业者强调，虽然输入数据看似简单，但“挑战在于如何估算波动率，”撰写了大量期权相关著作的纳西姆·尼古拉斯·塔勒布说道。误判波动率可能会严重扭曲期权价格。
布莱克-斯科尔斯模型公式
该模型为看涨期权和看跌期权提供了一个数学方程：
看涨期权价格（C）：
C = S·N(d1) − K·e^(−rt)·N(d2)
看跌期权价格（P）：
P = K·e^(−rt)·N(−d2) − S·N(−d1)
在哪里：
- C = Black-Scholes看涨期权价值
- P = 看跌期权价值
- S = 当前股票价格
- K = 执行价格
- r = 无风险利率
- t = 到期时间
- N = 标准正态分布
d1 = [ln(S/K) + (r + σ²/2)·t] / (σ√t)
d2 = d1 − σ√t
该期权价格公式仍然是金融市场中期权估值的基准。
示例：使用 Black-Scholes 定价期权
采取 XYZ 公司的欧式期权：
- 当前股价 = 100 美元
- 执行价格 = 110 美元
- 到期时间 = 0.25 年（90 天）
- 波动率值 = 20%
- 无风险利率 = 5%
当你使用Black-Scholes模型公式并结合这些输入参数时，你计算出的看涨期权价格约为6.64美元。该期权价值反映了标的资产的现值以及期权到期时价内收益的概率。
布莱克-斯科尔斯假设
该模型假设：
- 市场是高效的并且能反映所有可用的信息。
- 无风险利率随时间保持不变。
- 价格遵循对数正态分布。
- 在期权有效期内不支付股息（但后期调整可以纳入股息）。
- 无税、无成本、无买卖障碍。
- 仅考虑欧式期权，不考虑美式期权。
专家强调，这些假设虽然有助于简化数学计算，但却限制了模型在现实世界中的准确性。“每个假设都可能成为误差来源，”衍生品领域的权威专家约翰·赫尔指出。
波动率倾斜
虽然该模型假设波动率恒定，但现实世界的市场往往存在波动率偏差。在1987年股市崩盘等事件之后，不同执行价格的隐含波动率出现了分化，这暴露了布莱克-斯科尔斯模型的一个主要局限性。这种不匹配表明了为什么期权估值有时需要采用其他方法。
Black-Scholes期权定价模型的优势
- 为定价选项提供透明且标准化的框架。
- 支持以清晰的数学公式进行快速估价。
- 帮助投资者管理风险并建立复杂的期权策略。
- 鼓励全球市场股票期权的一致定价。
前期权交易员伊曼纽尔·德曼 (Emanuel Derman) 等从业者认为：“如果没有布莱克-斯科尔斯公式，我们所熟知的现代期权市场就不会存在。”该公式为交易员提供了一种通用语言和可靠的参考点。
布莱克-斯科尔斯模型的局限性
Black-Scholes模型的局限性包括：
- 仅适用于欧式期权。
- 假设波动率和无风险利率恒定，但这可能无法反映现实。
- 忽略其基本形式的股息。
- 对波动率估计中的小错误很敏感。
- 无法正确地模拟具有绩效条件或上限支出的员工股票期权。
绩效条件：依赖于达到某些里程碑的期权无法使用此估值模型准确定价。
封顶限制：限制最大收益的期权也不符合 Black-Scholes 模型的假设。
金融分析师经常警告称，Black-Scholes期权定价模型的局限性使其只能作为起点，而非最终结论。正如金融专家伯顿·马尔基尔（Burton Malkiel）所指出的：“模型是指南，而非预言家。Black-Scholes模型固然宝贵，但并非绝对可靠。”
底线
布莱克-斯科尔斯模型是一个改变了现代金融理论的数学模型。它提供了第一个被广泛接受的期权定价框架，至今仍是最具影响力的期权定价模型。尽管其简化的假设意味着它并不总是与市场价格走势相符，但期权交易员和分析师仍然使用布莱克-斯科尔斯模型作为期权估值和理解波动率、执行价格以及标的资产价格动态的基础。
专家们一致认为，布莱克-斯科尔斯模型既具有革命性，又不完美。它仍然是期权交易和估值的核心，但专业人士意识到它的局限性，并经常将其与其他估值模型结合起来，以捕捉现代市场的复杂性。
